前回に引き続きたわみの式を導出します。
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さて、前回までに以下のことが分かったのでした。
前回のまとめ
xを横軸、yを縦軸として、下に張り出すようにたわんだ木材を考えます。木材は、本当は真っ直ぐなのですが、上に重りが載っているためにたわんでいるのです。なお、重りはちょうど中央に載っています。
この木材の中心線をy=f(x)とすると(図参照)、yは次の微分方程式を満たします。
ここで、
- Mは、木材において横軸がxである断面に働く力のモーメントです。重りによる木材内部への力のかかり方が、これに反映されることになります。
- Eは、材質に固有の定数であるヤング係数です。
- Iは、木材の断面の形状から決まる量です。
微分方程式を解くためにはMおよびIを計算する必要があります。
Iの計算
Iは、と定義したのでした。ここでSは木材の断面、dsはこの断面上の微小な面です。
木材の断面は高さh、奥行きwの長方形ですので積分は容易です。
Mの計算
木材には、重りが木材を押す下向きの力P、支柱から受ける上向きの力Fが働きます。この3つの力は釣り合ってますので、です(下図参照)。
さて、ここで横軸がxである地点を境に木材を左右の部分に分けて考えます。左の部分に働く力はどうなるでしょうか(下図参照)。
左端に、支柱から受ける上向きの力Fが働くことは同じですが、これだけでは力は釣り合いません。だからx地点の断面には下向きの力が働いおり、その大きさはです。また、この断面に働くモーメントをMとすると、となります。
微分方程式を解く
以上から、の場合に、微分方程式は以下のように具体的に書けます。
上式をxについて積分して、
ここで、重りが木材の中央に載っているため、たわみは左右対称になるはずなので、で上式は0となります。ですから、
さらに積分して、
ここで、x=0のときたわみは0なので、(x,y)=(0,0)を上式に代入するとが分かります。よって、
たわみ
となります。たわみは木材の中央で最も大きくなるので、上式でとおくことで、
が得られました(y軸を上向きが正になるようにとっているため、たわんでいるところのy座標はマイナスになる。たわみの大きさとしては、上式の絶対値をとったものを使えばよい)。
なお、重りが木材の中央に載っている場合に限ったので、計算が若干簡単になっています。そうでない場合は、の場合だけでなく、の場合も考えて微分方程式を解いていく必要があります。